Grafos

Grafo

es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto.
Típicamente, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas).

Desde un punto de vista práctico, los grafos permiten estudiar las interrelaciones entre unidades que interactúan unas con otras. Por ejemplo, una red de computadoras puede representarse y estudiarse mediante un grafo, en el cual los vértices representan terminales y las aristas representan conexiones (las cuales, a su vez, pueden ser cables o conexiones inalámbricas).

Definiciones

Un grafo G es un par ordenado G = (V,E), donde:V es un conjunto de vértices o nodos, y
E es un conjunto de arcos o aristas, que relacionan estos nodos.

Normalmente V suele ser finito. Muchos resultados importantes sobre grafos no son aplicables para grafos infinitos. Se llama orden de G a su número de vértices, V .

Lazos o bucles
Un lazo o bucle es una arista que relaciona al mismo nodo; es decir, una arista donde el nodo inicial y el nodo final coinciden.

Grafo no dirigido

Un grafo no dirigido o grafo propiamente dicho es un grafo G = (V,E) donde:

es un conjunto de pares no ordenados de elementos de .
Un par no ordenado es un conjunto de la forma {a,b}, de manera que {a,b} = {b,a}. Para los grafos, estos conjuntos pertenecen al conjunto potencia de V de cardinalidad 2, el cual se denota por .

Grafo dirigido

Un grafo dirigido o digrafo es un grafo G = (V,E) donde:

es un conjunto de pares ordenados de elementos de .
Dada una arista (a,b), a es su nodo inicial y b su nodo final.
Por definición, los grafos dirigidos no contienen bucles.

Pseudografo

Un pseudografo es un grafo G = (V,E) donde:

es un conjunto de pares no ordenados de elementos de .
Es decir, un pseudografo es un grafo no dirigido que acepta bucles en .

Pseudografo dirigido

Un pseudografo dirigido es un grafo G = (V,E) donde:

es un conjunto de pares ordenados y etiquetados de elementos de
Es decir, un pseudografo dirigido es un grafo dirigido que acepta bucles en .

Propiedades

Adyacencia: dos aristas son adyacentes si tienen un vértice en común, y dos vértices son adyacentes si una arista los une.
Incidencia: una arista es incidente a un vértice si ésta lo une a otro.
Ponderación: corresponde a una función que a cada arista le asocia un valor (costo, peso, longitud, etc.), para aumentar la expresividad del modelo. Esto se usa mucho para problemas de optimización, como el del vendedor viajero o del camino más corto.
Etiquetado: distinción que se hace a los vértices y/o aristas mediante una marca que los hace unívocamente distinguibles del resto.

Ejemplos

La imagen es una representación del siguiente grafo:
V:={1,2,3,4,5,6}
E:={{1,2},{1,5},{2,3},{2,5},{3,4},{4,5},{4,6}}

El hecho que el vértice 1 sea adyacente con el vértice 2 puede ser denotado como 1 ~ 2.
En la Teoría de las categorías una categoría puede ser considerada como un multigrafo dirigido, con los objetos como vértices y los morfismos como aristas dirigidas.
En ciencias de la computación los grafos dirigidos son usados para representar máquinas de estado finito y algunas otras estructuras discretas.
Una relación binaria R en un conjunto X es un grafo dirigido simple. Dos vértices a, b en X están conectados por una arista dirigida ab si aRb.